Mathematik
 Ein wenig von der Schönheit und Faszination der Zahlen ... 


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Pi
Primzahlen
Reihensumme (Gauß)
röm. Zahlen
vollkomme Zahlen
Zahlentripel 		2-Beiner und 4-Beiner
Gansgewicht
Lotto: 6er, 4er
Anzahl Sternentoradr.
mag. Quadrate


xx 'Vollkommene Zahlen' xxx
  • Problem: 'Vollkommene Zahlen' sind Zahlen, bei denen die Summe der Teiler wieder die Zahl selbst ergibt.
    Zusätzlich können diese Zahlen aus einer lückenlosen Reihen-Summe der Zahlen von 1 bis n gebildet werden.

    Der Entdecker dieser Eigenschaften soll Pythagoras gewesen sein.
    		•
    Euklid (griechisch Mathematiker um 300 v. Chr.) soll dazu herausgefunden haben, dass vollkommene Zahlen immer wie folgt aufgebaut sind (siehe Spalte Euklid):


    ZahlTeilerReihen-SaEuklidx*(2x-1)???
    61,2,31+2+3
    281,2,4,7,141+2..722*(23-1)4*713+33
    496 ...1+2..+3124*(25-1)16*3113+33+53+73
    8128 ...1+2..+12726*(27-1)64*12713+33..+153


    "Dr. Googols wundersame Welt der Zahlen",
    (Clifford A. Pickover),
    (TB) dtv: Nr. 34177, Jahr: 2005, ISBN: 3-423-34177-7, 254 S.

    xx 'Das 2-Beiner und 4-Beiner Problem' xxx
  • Problem: Auf einem Bauernhof leben 2-beinige und 4-beinige Tiere. Sagen wir: Hühner und Schweine.

    Nun werden uns nur die Anzahl der Beine (insgesamt) und die Zahl der Tiere (insgesamt) genannt und wir sollen über eine Formel herausbekommen, wie viel Hühner und Schweine es dort gibt.
    • Die Aufgabe ist natürlich nicht so ganz ernst gemeint! Sie lässt sich aber tatsächlich mathematisch angehen:
  • Lösung:

    Die Formel, um die 2-beinigen Tiere zu ermitteln, lautet:

    2 * Anzahl der Tiere - ( Beine / 2 )

    Beispiel:

    14 Tiere und 32 Beine.

    12 Hühner + 2 Schweine (12 * 2 Beine) + (2 * 4 Beine).

    Testen Sie die Formel ruhig mit anderen Werten.

  • Zusatzhinweise: Wenn Sie die Herleitungen interessieren:

    T = Anzahl aller Tiere; B = Anzahl aller Beine;
    V = Anzahl der Vierbeiner; Z = Anzahl der Zweibeiner.
    • Für 2-Beiner:

    Z=2T-B/2
    T=Z+V
    B=2Z+4V
    2Z=4T-B     		Für 4-Beiner:

    V=B/2-T
    • xx Pi xxx
  • Problem: Die Zahl Pi (3,14~) ist als Wert zur Berechnung von Kreisumfängen und Umlaufbahnen (Astronomie) etc. bekannt.
    Die ersten 7 Nachkommastellen lauten: 3,1415926~.

    Die Reihe der zu Pi gehörigen Dezimalstellen lässt sich dabei bis in's Unendliche fortführen und folgt dabei keinem Muster.
    		•
  • Zusatzhinweise: Witzig ist, dass Pi sich über folgende Näherungs-Rechnung ermitteln lässt:

    Pi = 4 * (1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 ...)

    Je mehr Brüche (wie hier beschrieben!) einbezogen werden, desto genauer wird Pi berechnet.
    • xx Primzahlen xxx
  • Problem:

    Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst oder durch 1 ganzzahlig teilbar sind.

    • Es gibt nur 2 "Sorten" Primzahlen.

    Die einen können gebildet werden als (4 * n) + 1, die anderen als (4 * n) - 1.
    (* Wobei n eine ganze Zahl ist, die aber nicht 'prim' sein muss!).

    Beispiele    
    (4 * n) +1 13 = (4 * 3) +1 (13-1) / 4
    (4 * n) -1 31 = (4 * 8) -1 (31+1) / 4


    Weiter gilt:

    Primzahlen treten nur unregelmäßig auf.
    Während im Bereich von 1..100 gleich 25 Primzahlen zu finden sind, gibt es in Bereichen erheblich größerer Zahlen (etwa zw. 10.000 - 10.100) nur noch sehr wenige.

    Leonhard Euler (schweizer Mathematiker *1707 +1783) bewies, dass die Primzahlen, die mit (4 * n) + 1 gebildet werden können, immer auch die Summe zweier Quadrate sind.

    Beispiele:

    13 = 2² + 3²

    Die zweite Gruppe der Primzahlen (4 * n) - 1 lässt sich nicht als Summe zweier Quadrate darstellen.
    Interessant ist auch der Versuch, über weitere Formeln (als die obigen) verläßlich Primzahlen zu erzeugen.

    Mit: n2+n+41 liefert n stets eine Primzahl. Aber nur, wenn man für n ganzzahlige Werte zwischen 0 - 39 einsetzt (solch eine Liste kann man mit einer kleinen Excel-Tabelle schnell erstellen - siehe unser Beispiel!).
    Erkenntnis: n = 40 ergibt schon keine Primzahl mehr.

    Übrigens gilt dies auch für die Formel n2+n+17, wobei n kleiner sein muss als 16.

     n  n2+n+41 
    041
    143
    247
    353
    461
    571
    683
    797
    8113
    9131
    10151
    11173
    12197
    13223
    14251
    15281
    16313
    17347
    18383
    19421
    20461
    21503
    22547
    23593
    24641
    25691
    26743
    27797
    28853
    29911
    30971
    311033
    321097
    331163
    341231
    351301
    361373
    371447
    381523
    391601
  • Zusatzhinweise: Folgende Zahlen (nach denen man schnell eine unendlich fortsetzbare Reihe vermuten würde!) sind prim:

    31; 331; 3.331; 33.331; 333.331; 3.333.331; 33.333.331; 333.333.331;

    Danach bricht diese Reihe ab. D. h. die nächste 3-er-Zahl ist schon nicht mehr prim!
    		•
    xx Magische Quadrate xxx
  • Problem: Ein 'magisches Quadrat' ist eine Rechteck-Konstruktion, in der Zahlen so angeordnet sind, dass sie zumindest in den Reihen- und auch den Spalten- und den beiden Diagonalen-Summen immer den gleichen Wert ergeben.
    • Beispiel:

    Albrecht Dürers 'mag. Quadrat' aus seinem Bild "Melancholie" ist besonders pfiffig.


    Dürer hat übrigens in der untersten Zeile das Entstehungsjahr des Bildes (1514) untergebracht und ein ganz besonderes 'magisches Quadrat' konstruiert.
    So sind nicht nur die Zeilen- und Spaltensummen gleich. Es existieren im Dürer-Quadrat reichlich weitere Möglichkeiten die Summe 34 zu bilden!

    *Wir von wispor.de haben 18 Möglichkeiten hier die 34 zu bilden gefunden. Haben Sie mehr entdeckt? Einige besondere Lösungen haben wir unter dem Bild ('mag. Quadrat') versteckt.
    Die Buchstaben bedeuten dabei die Felder (oben links mit 'A' [16] im 'mag. Quadrat' beginnend!).
  • Zusatzhinweise:
    Erstellen Sie doch einmal ein magisches Quadrat.
    Z. B. eines '3. Ordnung' mit den Zahlen von 1..9.
    Die Zeilen- und Spaltensummen und die Summen der beiden Diagonalen müssen dabei jeweils 15 ergeben!

    *Magische Quadrate ungerader Ordnung (3er, 5er ...) sind leichter zu erstellen, als die gerader Ordnung (4er, 6er ...).
    		•
    xx Pythagoreische Zahlentripel xxx
  • Problem: a² + b² = c². Dass dies in allen rechtwinkligen Dreiecken gilt, ist Schulweisheit.
    		•
    mat-pyth.gif

    Ein Beispiel dafür ist: 3² + 4² = 5².

    Oder:

    5² + 12² = 13²
    Aber welche Zahlentripel gibt es noch?
    xx Römische Zahlen xxx
  • Problem: Sehr große röm. Zahlen:
    • Sehr große röm. Zahlen:

    Die gebräuchlichste Schreibweise für große röm. Zahlen war und ist wohl die mit Oberstrich für die Multiplikation mit 1000.

    Also:
    C (mit einem Oberstrich)
    = 100 x 1000 = 100.000

    M (mit einem Oberstrich)
    = 1000 x 1000 = 1.000.000

    Bei der Multiplikation mit 100.000 zeichnete man ein nach unten offenes Viereck um das entsprechende röm. Zahlzeichen:

    X (mit Vierreck/unten offen)
    = 10 x 100.000

    Additives Bildungsgesetz:

    Man spricht bei den röm. Zahlen auch von einem sogenannten additiven Bildungsgesetz. D. h., die röm. Zahlenzeichen müssen zur Interpretation vom Benutzer (Leser) erst noch zusammengerechnet werden. Leider ist dieses additive System nichteinmal konsequent durchgehalten worden, so dass einige Schwierigkeiten (gerade für uns!) auftreten. Arithmetische Rechenoperationen (+ - * :) sind damit außerordentlich unübersichtlich.
    *Da lobe ich mir doch unser klareres dezimales System ...

    Eine Bildungsvorschrift besagt z. B.: steht ein kleiner Wert direkt (links) vor einem größeren, dann wird er abgezogen (IX = 9 / IC = 99). Steht ein kleiner Wert direkt rechts neben einem größeren (oder mehrere gleichgroße nebeneinander), so wird addiert (CI = 101 / CC = 200).

    Die größte "normal" darstellbare röm. Zahl ist 3999 (MMMIM). Dargestellt nach den sogenannten allg. Regeln.

    röm. Zahlen
    (nach den allg. Regeln)
    I= 1
    II= 2
    III= 3
    IV= 4
    V= 5
    VI= 6
    VII= 7
    VIII= 8
    IX= 9
    X= 10
    XI= 11
    XII= 12
    XIII= 13
    XIV= 14
    XV= 15
    XXI= 21
    XXIX= 29
    XXXIX= 39
    XL= 40
    IL= 49
    L= 50
    C= 100
    CIL= 149
    CC= 200
    D= 500
    M= 1000
    MMMIM= 3999
    xx Reihen-Summe nach Gauß xxx
  • Problem:

    Stellen Sie sich vor, Sie sollen die Werte von 1 bis n (Schrittweite 1) addieren.
    Also 1+2+3+4 ...n.

    Natürlich können Sie diese Werte untereinanderschreiben und brav addieren. Dies kann aber (schon) bei 1 ... 100 sehr lange dauern.
  • Lösung:
    Elegant (und extrem schnell) ist aber die Formel-Lösung (angeblich nach C. F. Gauß).

    Carl Friedrich Gauß (dt. Mathematiker *1777 +1855) soll als Schüler schon auf die clevere Idee gekommen sein, für solch eine Aufgabe gleiche Zahlenpaare zu bilden und die Anzahl der Zahlenpaare mit deren Summenwert malzunehmen und dadurch den Rechenaufwand extrem zu minimieren.

    Seine Formel dazu lautet: (n+1) * n/2


    mat-gaus.gif


    In (A3) ist die Anzahl der Elemente (n) eingetragen (hier: 100).
    In (A8) steht die dazugehörige Berechnungs-Formel [entspricht: (n+1) * n/2 ].

    So ergibt die Summe bei n=100 genau 5050.
    Bei n=10 sind es 55.
    Probieren Sie einmal eigene Werte aus!

    Soll von einem anderen Wert als 1 gestartet werden, so kann man sich mit der Berechnung von zwei Zahlenpaar-Summen helfen. Die kleinere Zahlenpaar-Summe wird dann von der größeren abgezogen.

    Beispiel: Die Summe der Zahlen von 3..12 wird gesucht.
    1. Summe (1..12) = 78.
    2. Summe (1..2) = 3.
    Erste Summe (78) minus zweite Summe (3) = 75.



  • Zusatzhinweise:

    Zahlenpaarwert * halbe Anzahl der Elemente = Summe der Einzelwerte.

    		•
    xx Gansgewicht xxx
  • Problem: Eine Gans wiegt 10 Kg und die Hälfte ihres Gewichtes.
  • Lösung:
    15 Kg ist falsch!

    Es würde ja bedeuten, dass die halbe Gans 7,5 Kilo wiegt! Dass 'beisst' sich mit dem Ausgangswert.

    Vielleicht nehmen Sie sich einmal 3 Minuten Zeit, ein Stück Papier und einen Stift und versuchen es einmal mit einer kleinen Formel ...

    Wenn Sie aber partout nicht auf die Lösung kommen: Unter dem 'St. Isidor'-Bild finden Sie die Lösung.

    • xx Lotto xxx
  • Problem: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 6 Richtige beim Lotto (6 aus 49) zu erhalten? Anders ausgedrückt, wie viel Lottoreihen müsste man ausfüllen, um mit Sicherheit einen Sechser zu bekommen?
  • Lösung:
    Lotto
    Hier kann natürlich noch gekürzt werden!
    6er(49*48*47*46*45*44) / 6!
    6er(49*48*47*46*45*44) / 6*5*4*3*2*1
    Ein "Vierer" ist natürlich viel leichter zu erhaschen!
    4er(49*48*47*46) / 4!
    4er(49*48*47*46) / 4*3*2*1
    		•
    xx 'Stargate'™ xxx
  • Problem: Wie viel Sternentoradressen gibt es bei 'Stargate'™?

    Hinweis:
    Ich gehe von 40 Symbolen auf den 'Sternentoren' aus.
    *Hab' sie abgezählt!

  • Lösung:

    'Stargate'™
    Hier kann natürlich noch gekürzt werden!
    7-Symbolanwahl(40*39*38*37*36*35*34) / 7!
    7-Symbolanwahl (40*39*38*37*36*35*34) / 7*6*5*4*3*2*1

    = 18.643.560 Sternentoradressen (7:40)

    • xx sss xxx
  • Problem: Fakultät:
  • Lösung:




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